集合の演算

共通部分と和集合

定義（共通部分）

集合 \(A,B\) に対して

\[ A\cap B:=\{x~|~x\in A~\text{かつ}~x\in B\} \]

を \(A\) と \(B\) の共通部分（積集合）という。

定義（和集合・直和）

集合 \(A,B\) に対して

\[ A\cup B:=\{x~|~x\in A~\text{または}~x\in B\} \]

を \(A\) と \(B\) の和集合という。

特に、\(A\cap B=\phi\) のとき、和集合 \(A\cup B\) は

\[ A\sqcup B \]

と書き、\(A\) と \(B\) の直和（非交和）という。

定義（差集合）

集合 \(A,B\) に対して

\[ A\setminus B:=\{x~|~x\in A~\text{かつ}~x\notin B\} \]

を \(A\) と \(B\) の差集合という。

定義（補集合）

全体集合 \(U\) があり、その部分集合 \(A\subset U\) に対して

\[ A^c:=U\setminus A \]

を \(A\) の補集合という。\(\overline{A}\) とも書かれる。

定理（ド・モルガンの法則）

全体集合 \(U\) の部分集合 \(A,B\subset U\) に対して、次が成り立つ。