集合の定義と記法

集合と要素

「もの」の集まりを集合といいます。その「もの」は一つ一つが区別され、集まりに含まれるかどうかが明確でなければなりません。

定義（属する）

\(a\) が集合 \(A\) の要素であるとき

\[ a\in A \]

と書き、\(a\) は \(A\) に属するという。

また、\(a\) が集合 \(A\) の要素でないとき

\[ a\notin A \]

と書き、\(a\) は \(A\) に属さないという。

数の集合の記号

数の集合には、以下のように特別な記号を用いるものがあります。

\(\mathbb{N}:=\textbf{自然数全体の集合}\)

\(\mathbb{Z}:=\textbf{整数全体の集合}\)

\(\mathbb{Q}:=\textbf{有理数全体の集合}\)

\(\mathbb{R}:=\textbf{実数全体の集合}\)

\(\mathbb{C}:=\textbf{複素数全体の集合}\)

\(\mathbb{H}:=\textbf{四元数全体の集合}\)

集合の記法

集合には２種類の書き方があります。

定義（外延的記法）

要素が \(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n\) である集合を

\[ \{x_1,~x_2,~x_3,~\cdots,~x_n\} \]

と書く。この記法を外延的記法と呼ぶ。

定義（内包的記法）

条件 \(P(x)\) を満たす \(x\in X\) をすべて集めた集合を

\[ \{x\in X \mid P(x)\} \]

と書く。この記法を内包的記法と呼ぶ。

\(X\) が自明であるときは、\(X\) を省略して

\[ \{x \mid P(x)\} \]

とも書いてもよい。

以下に内包的記法による集合の例を示します。

例

\(2\) 以上 \(7\) 未満の実数の集合
\[ \{x\in\mathbb{R} \mid 2\le x\lt7\} \]
\(5\) 以下の自然数の集合
\[ \{x\in\mathbb{N} \mid x\le5\} \]

空集合

定義（空集合）

要素を一つも持たない集合を空集合といい

\[ \phi, \quad \emptyset, \quad \varnothing, \quad \{\} \]

などで表す。

部分集合

定義（部分集合）

集合 \(A,B\) に対して、\(x\in A\) ならば \(x\in B\) が成り立つとき

\[ A\subset B \]

と書き、\(A\) は \(B\) の部分集合であるという。

例えば

\[ \begin{align} X&=\{x\in\mathbb{R} \mid -5\le x\lt4\} \\ Y&=\{x\in\mathbb{R} \mid 1\le x\le2\} \end{align} \]

であるとき

\[ Y\subset X \]

となります。

集合 \(\{1,2,3\}\) の部分集合をすべて挙げると

\[ \phi,~\{1\},~\{2\},~\{1,2\},~\{1,3\},~\{2,3\},~\{1,2,3\} \]

です。

集合の相等

２つの集合の要素が完全に一致しているとき、それらの集合は等しいといいます。

定義（等しい集合）

集合 \(A,B\) に対して、\(A\subset B\) かつ \(B\subset A\) が成り立つとき

\[ A=B \]

と書き、\(A\) と \(B\) は等しいという。