集合の定義

集合と要素

「もの」の集まりを集合という。その「もの」は一つ一つが区別され、集まりに含まれるか否かが明確でなければならない。

\(a\) が集合 \(A\) の要素であるとき \[ a\in A \] と書き、\(a\) は \(A\) に属するという。また、\(a\) が \(A\) の要素でないことは \[ a\notin A \] と表す。

数の集合には、以下のように特別な記号を用いるものがある。

\(\mathbb{N}:=\text{自然数全体の集合}\)

\(\mathbb{Z}:=\text{整数全体の集合}\)

\(\mathbb{Q}:=\text{有理数全体の集合}\)

\(\mathbb{R}:=\text{実数全体の集合}\)

\(\mathbb{C}:=\text{複素数全体の集合}\)

\(\mathbb{H}:=\text{四元数全体の集合}\)

定義（外延的記法）

要素が \(x_1,~x_2,~x_3,~\cdots,~x_n\) である集合を \[ \{x_1,~x_2,~x_3,~\cdots,~x_n\} \] と書く。この記法を外延的記法と呼ぶ。

定義（内包的記法）

条件 \(P(x)\) を満たす \(x\in X\) をすべて集めた集合を \[ \{x\in X~|~P(x)\} \] と書く。この記法を内包的記法と呼ぶ。

\(X\) が自明であるときは、\(X\) を省略して \[ \{x~|~P(x)\} \] とも書いてもよい。

以下に内包的記法の例を示す。

・1以上3未満の実数の集合 \[ \{x\in\mathbb{R}~|~1\le x\lt3\} \] ・5以下の自然数の集合 \[ \{x\in\mathbb{N}~|~1\le x\le5\} \]

要素を一つも持たない集合を空集合といい \[ \phi,~~~\emptyset,~~~\varnothing,~~~\{\} \] などと書く。

定義（部分集合）

集合 \(A,B\) に対して、\(x\in A\) ならば \(x\in B\) が成り立つとき \[ A\subset B \] と書き、\(A\) は \(B\) の部分集合であるという。

例えば

\[ A=\{x\in\mathbb{R}~|~-5\le x\lt4\} \] とすれば \[ \{x\in\mathbb{R}~|~1\le x\le2\}\subset A \] である。

集合 \(\{1,2,3\}\) の部分集合は

\[ \phi,~\{1\},~\{2\},~\{1,2\},~\{1,3\},~\{2,3\},~\{1,2,3\} \] である。

定義（等しい集合）

集合 \(A,B\) に対して、\(A\subset B\) かつ \(B\subset A\) が成り立つとき \[ A=B \] と書き、\(A\) と \(B\) は等しいという。