複素フーリエ級数
複素フーリエ級数
\[
f(t)\sim a_0+\sum_{n=1}^\infty\{a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)\}
\]
オイラーの公式によって
\[
\cos(n\omega t)=\frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2},\quad \sin(n\omega t)=\frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2i}
\]
\[
\begin{align}
f(t)
&\sim a_0+\sum_{n=1}^\infty\left\{a_n\cdot\frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2}+b_n\cdot\frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2i}\right\}\\
&= a_0+\sum_{n=1}^\infty\left\{a_n\cdot\frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2}-b_n\cdot\frac{ie^{in\omega t}-ie^{-in\omega t}}{2}\right\}\\
&= a_0+\sum_{n=1}^\infty\left\{\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega t}\right\}\\
&= a_0+\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t}+\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega t}\\
&= a_0+\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t}+\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}e^{in\omega t}\\
\end{align}
\]
ここで
\[
\begin{align}
a_n&=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\omega t)dt\\
b_n&=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(n\omega t)dt
\end{align}
\]
より
\[
\begin{align}
a_{-n}&=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(-n\omega t)dt=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\omega t)dt=a_n\\
b_{-n}&=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(-n\omega t)dt=-\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(n\omega t)dt=-b_n
\end{align}
\]
なので
\[
\begin{align}
f(t)
&\sim a_0+\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t}+\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t}\\
&= \frac{a_0-ib_0}{2}e^{i0\omega t}+\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t}+\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t}\\
&= \sum_{n=-\infty}^\infty\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t}\\
&= \sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{in\omega t}\quad \left(c_n:=\frac{a_n-ib_n}{2}\right)
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
c_n
&=\frac{a_n-ib_n}{2}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)\cos(n\omega t)dt-i\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)\sin(n\omega t)dt\right\}\\
&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)\{\cos(n\omega t)dt-i\sin(n\omega t)\}dt\\
&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)e^{-in\omega t}dt
\end{align}
\]
周期 \(T\) の周期信号 \(f(t)\) に対して、\(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\) とするとき
\[
f(t)\sim\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{in\omega t}
\]
を複素フーリエ級数といい、\(c_n\) を複素フーリエ係数という。 \(c_n\) は
\[
c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)e^{-in\omega t}dt
\]
と書ける。
複素フーリエ級数のスペクトル
信号 \(f(t)\) の複素フーリエ級数
\[
f(t)\sim\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{in\omega t}
\]
に対して
\[
|c_n|=\frac{1}{T}\left|\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)e^{-in\omega t}dt\right|
\]
を振幅スペクトルという。
正規直交関数系による複素フーリエ級数の導出
\[
\begin{align}
f(x)&\sim\sum_{n=-\infty}^\infty\left(f(t),\frac{e^{i\frac{2\pi}{T}nt}}{\sqrt{T}}\right)\frac{e^{i\frac{2\pi}{T}nx}}{\sqrt{T}}\\
&=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\left(f(t),e^{i\frac{2\pi}{T}nt}\right)e^{i\frac{2\pi}{T}nx}\\
&=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)e^{-i\frac{2\pi}{T}nt}dt\right)e^{i\frac{2\pi}{T}nx}
\end{align}
\]
特に、\(T=2\pi\) のとき
\[
f(x)\sim\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-int}dt\right)e^{inx}
\]