連続時間システム

インパルス応答

単位インパルス信号 \(\delta(t)\) をシステムに入力したときの出力をインパルス応答といい、次のように定義されます。

定義（インパルス応答）

システム \(\mathcal{S}\) と単位インパルス信号 \(\delta(t)\) に対して

\[ h(t):=\mathcal{S}\{\delta(t)\} \]

をインパルス応答という。

線形時不変システム

任意の入力信号 \(x(t)\) は単位インパルス信号 \(\delta(t)\) を用いて

\[ x(t)=\int_{-\infty}^\infty x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau \]

と表せます。

システム \(\mathcal{S}\) を線形時不変システムとするとき、入力信号 \(x(t)\) に対する出力信号 \(y(t)\) は

\[ \begin{align} y(t)&=\mathcal{S}\{x(t)\}\\ &=\mathcal{S}\left\{\int_{-\infty}^\infty x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\right\}\\ &=\int_{-\infty}^\infty x(\tau)\mathcal{S}\{\delta(t-\tau)\}d\tau \quad (\because \text{線形時不変システムの線形性}) \end{align} \]

ここで、インパルス応答を \(h(t)\) とすると、\(\mathcal{S}\) の時不変性より

\[ \mathcal{S}\{\delta(t-\tau)\}=h(t-\tau) \]

が成り立ちます。 よって

\[ \begin{align} y(t)&=\int_{-\infty}^\infty x(\tau)\mathcal{S}\{\delta(t-\tau)\}d\tau\\ &=\int_{-\infty}^\infty x(\tau)h(t-\tau)d\tau\\ &=x(t)*h(t)\\ &=h(t)*x(t) \end{align} \]
定理（線形時不変システムの入出力関係）

線形時不変システムにおいて、インパルス応答を \(h(t)\) とすると、入力信号 \(x(t)\) に対する出力信号 \(y(t)\) は

\[ y(t)=h(t)*x(t) \]

と表せる。

連続時間システムの伝達関数

前節より、線形時不変システムでは、信号 \(x(t)\) を入力したときの出力信号 \(y(t)\) は、インパルス応答 \(h(t)\) を用いて

\[ y(t)=h(t)*x(t) \]

と表せることを学びました。 この両辺をラプラス変換すると

\[ Y(s)=H(s)X(s) \]

となります。 このとき

\[ H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} \]

を連続時間線形時不変システムの伝達関数といいます。

周波数応答

線形時不変（LTI）システムの伝達関数 \(H(s)\) に

\[ H(s)=\mathscr{L}[h(t)]=\int_0^\infty h(t)e^{-st}dt \]

と書けるので、\(s=j\omega\) を代入すると

\[ H(j\omega)=\int_0^\infty h(t)e^{-j\omega t}dt \]

となり、これは（因果信号の）フーリエ変換になっています。 つまり、\(H(j\omega)\) を調べれば周波数解析が可能だということです。 この \(H(j\omega)\) を周波数応答といいます。

定義（周波数応答）

線形時不変システムの伝達関数 \(H(s)\) に対して、\(s=j\omega\) を代入したもの

\[ H(j\omega) \]

を周波数応答という。

また、\(|H(j\omega)|\) を振幅特性といい、\(\angle H(j\omega)\) を位相特性という。

群遅延

演習問題

問題
解答