畳み込み（合成積）

畳み込み積分

定義（畳み込み積分）

２つの関数 \(f(t),g(t)\) に対して

\[ f(t)*g(t):=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau)d\tau \]

を \(f,g\) の畳み込み積分（合成積）という。

また、\(f(t)*g(t)\) は \((f*g)(t)\) とも書く。

畳み込み積分には次の性質があります。

定理（畳み込み積分の性質）

関数 \(f(t),g(t),h(t)\) に対して、次が成り立つ。

  1. \(f(t)*g(t)=g(t)*f(t)\)
  2. \((f(t)*g(t))*h(t)=f(t)*(g(t)*h(t))\)
  3. \(f(t)*(g(t)+h(t))=f(t)*g(t)+f(t)*h(t)\)

畳み込み総和

離散信号における畳み込みは次のように定義されます。

定義（畳み込み総和）

２つの離散信号 \(f[n],g[n]\) に対して

\[ f[n]*g[n]:=\sum_{k=-\infty}^\infty f[k]g[n-k] \]

を \(f,g\) の畳み込み総和（合成積）という。

また、\(f[n]*g[n]\) は \((f*g)[n]\) とも書く。

畳み込み総和も畳み込み積分と同様の性質を持ちます。

定理（畳み込み総和の性質）

離散信号 \(f[n],g[n],h[n]\) に対して、次が成り立つ。

  1. \(f[n]*g[n]=g[n]*f[n]\)
  2. \((f[n]*g[n])*h[n]=f[n]*(g[n]*h[n])\)
  3. \(f[n]*(g[n]+h[n])=f[n]*g[n]+f[n]*h[n]\)

演習問題

問題
解答