離散コサイン変換
離散コサイン変換の導出
元々は実数の信号であっても、DFTを行うと虚数成分が現れるため、計算や解析が面倒になります。
これを解消するために、信号を偶数対称に拡張することを考えます。
元の信号 \(x[n]\) を、左右対称になるように偶信号として
\[
x_{\mathrm{even}}[n]=
\begin{cases}
x[n] & (n=0,1,\cdots,N-1)\\
x[2N-1-n] & (n=N,N+1,\cdots,2N-1)
\end{cases}
\]
のように拡張します。
この偶信号 \(x_{\mathrm{even}}[n]\) の離散フーリエ変換 \(X_{\mathrm{even}}[k]\) を求めます。
\[
\begin{align}
X_{\mathrm{even}}[k]
&= \sum_{n=0}^{2N-1} x_{\mathrm{even}}[n] e^{-i\frac{2\pi}{2N}kn}\\
&= \sum_{n=0}^{2N-1} x_{\mathrm{even}}[n] e^{-i\frac{\pi}{N}kn}\\
&= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i\frac{\pi}{N}kn} + \sum_{n=N}^{2N-1} x[2N-1-n] e^{-i\frac{\pi}{N}kn}\\
&= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i\frac{\pi}{N}kn} + \sum_{n=0}^{N-1} x[N-1-n] e^{-i\frac{\pi}{N}k(n+N)}\\
&= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i\frac{\pi}{N}kn} + \sum_{n=0}^{N-1} x[(N-1)-n] e^{i\frac{\pi}{N}k\{(N-1)-n-2N+1\}}\\
&= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i\frac{\pi}{N}kn} + \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{i\frac{\pi}{N}k(n-2N+1)}\\
&= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i\frac{\pi}{N}kn} + \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{i\frac{\pi}{N}k(n+1)}e^{-i2\pi k}\\
&= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i\frac{\pi}{N}kn} + \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{i\frac{\pi}{N}k(n+1)}\quad (\because e^{-i2\pi k}=1)\\
&= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \left(e^{-i\frac{\pi}{N}kn} + e^{i\frac{\pi}{N}k(n+1)}\right)\\
&= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{i\frac{\pi}{2N}k}\left(e^{-i\frac{\pi}{N}\left(n+\frac{1}{2}\right)k} + e^{i\frac{\pi}{N}\left(n+\frac{1}{2}\right)k}\right)\\
&= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{i\frac{\pi}{2N}k}\cdot 2\cos\left\{\frac{\pi}{N}\left(n+\frac{1}{2}\right)k\right\}\\
&= 2e^{i\frac{\pi}{2N}k}\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\cos\left\{\frac{\pi}{N}\left(n+\frac{1}{2}\right)k\right\}
\end{align}
\]
ここで、\(2e^{i\frac{\pi}{2N}k}\) は振幅を \(2\) 倍し、全ての係数を同じだけ回転させるのみであるから、考える必要がありません。
\[
X[k]:=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\cos\left\{\frac{\pi}{N}\left(n+\frac{1}{2}\right)k\right\}
\]
この式を離散コサイン変換といいます。
定義（離散コサイン変換）
長さ \(N\) の有限長信号 \(x[n]\in\mathbb{R}~(n=0,1,\cdots,N-1)\) に対して
\[
X[k]:=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\cos\left\{\frac{\pi}{N}\left(n+\frac{1}{2}\right)k\right\}
\]
を \(x[n]\) の離散コサイン変換（DCT）という。
例題
例題
次の信号の離散コサイン変換を求めよ。
\[
\]