離散フーリエ変換

離散フーリエ変換の導出

これまで無限長の信号を扱ってきましたが、現実では有限の長さの信号を扱います。そこで、長さ \(N\) の有限長信号

\[ x[n]\quad(n=0,1,\cdots,N-1) \]

を考えます。

この信号 \(x[n]\) の離散時間フーリエ変換は

\[ X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-i\omega n} = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i\omega n} \quad(\omega\in\mathbb{R}) \]

となります。

しかし、\(\omega\) が連続的に変化するので \(X(\omega)\) は連続関数です。このままでは離散的に表現できません。ここで、次の事実を使います。

事実（離散時間フーリエ変換の双対性）

長さ \(N\) の有限長信号は、周波数領域でも \(N\) 個の独立成分で表せる。

この事実から、\(\omega\) は \(N\) 個の点で十分であることがわかります。また、\(X(\omega)\) は \(e^{-i\omega n}~(n\in\mathbb{Z})\) によって、周期は \(2\pi\) であることから、区間 \([0,2\pi)\) の中で \(N\) 個の点を考えればよいです。

そこで、区間 \((0,2\pi]\) を \(N\) 等分する点

\[ \omega_k=\frac{2\pi}{N}k\quad(k=0,1,\cdots,N-1) \]

を選ぶと、指数関数 \(e^{-i\omega_k n}\) は互いに直交します。

これを \(X(\omega)\) に代入すると

\[ X(\omega_k) = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i\omega_k n} = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i\frac{2\pi}{N}kn} \]

となります。この式を \(X[k]\) と書き、離散フーリエ変換といいます。

定義（離散フーリエ変換）

長さ \(N\) の有限長信号 \(x[n]~(n=0,1,\cdots,N-1)\) に対して

\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i\frac{2\pi}{N}kn} \quad (k=0,1,\cdots,N-1) \]

を \(x[n]\) の離散フーリエ変換（DFT）という。

また、回転因子 \(W=e^{-i\frac{2\pi}{N}}\) を定義すると

\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] W^{kn} \quad (k=0,1,\cdots,N-1) \]

とも書ける。

例題

次の信号の離散フーリエ変換を求めよ。

\[ x[n]=\cos(2\pi fnT) \]

演習問題

問題

解答