離散時間フーリエ変換

フーリエ変換の離散化

連続信号 \(x(t)\) をサンプリングします。サンプリング周期を \(T_s\) とすると、サンプリングした信号 \(x_s(t)\) は

\[ x_s(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(t)\delta(t-nT_s) \]

と表されます。これをフーリエ変換すると

\[ \begin{align} X_s(\Omega) &=\mathscr{F}[x_s(t)](\Omega)\\ &=\int_{-\infty}^\infty \sum_{n=-\infty}^\infty x(t)\delta(t-nT_s)e^{-i\Omega t}dt\\ &=\sum_{n=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty x(t)\delta(t-nT_s)e^{-i\Omega t}dt\\ &=\sum_{n=-\infty}^\infty x(nT_s)e^{-i\Omega nT_s}\\ \end{align} \]

ここで、\(x[n]=x(nT_s)\) とおくと、

サンプリングによって得られた離散時間信号 \(x[n]\) は、時間が刻み \(T_s\) でしか存在しません。そのため、連続時間の角周波数 \(\Omega\) をそのまま用いると、サンプルごとの変化を表すには少し不便になります。

そこで、1 サンプル当たりの位相変化を基準にした角周波数を導入すると、とても扱いやすくなります。この量を正規化角周波数（あるいは離散時間角周波数）と呼びます。

定義（正規化角周波数）

角周波数を \(\Omega \;[\mathrm{rad/sec}]\) 、サンプリング周期を \(T_s \;[\mathrm{sec/sample}]\) とする。このとき、１サンプル当たりの位相変化量

\[ \omega := \Omega T_s \;[\mathrm{rad/sample}] \]

を正規化角周波数という。

つまり、\(\omega\) は「連続時間の周波数 \(\Omega\) をサンプリング周波数 \(F_s = 1/T_s\) で割ったもの」であり、離散時間の世界で自然に使える周波数軸になります。

この量を使うと、先ほど得られた式

\[ X_s(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-i\Omega n T_s} \]

は書き換られ

\[ X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-i\omega n} \]

と、非常にすっきりした形になります。これを離散時間フーリエ変換といいます。

定義（離散時間フーリエ変換）

離散時間信号 \(x[n]\) に対して

\[ X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-i\omega n} \]

を \(x[n]\) の離散時間フーリエ変換（DTFT）という。

演習問題

問題

解答