離散時間システム
インパルス応答
単位インパルス信号 \(\delta[n]\) をシステムに入力したときの出力をインパルス応答といい、次のように定義されます。
定義（インパルス応答）
システム \(\mathcal{S}\) と単位インパルス信号 \(\delta[n]\) に対して
\[
h[n]:=\mathcal{S}\{\delta[n]\}
\]
をインパルス応答という。
線形時不変離散システム
任意の入力信号 \(x[n]\) は単位インパルス信号 \(\delta[n]\) を用いて
\[
x[n]=\sum_{k=-\infty}^\infty x[k]\delta[n-k]
\]
と表せます。
システム \(\mathcal{S}\) を線形時不変システムとするとき、入力信号 \(x[n]\) に対する出力信号 \(y[n]\) は
\[
\begin{align}
y[n]&=\mathcal{S}\{x[n]\}\\
&=\mathcal{S}\left\{\sum_{k=-\infty}^\infty x[k]\delta[n-k]\right\}\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty x[k]\mathcal{S}\{\delta[n-k]\} \quad (\because \text{線形時不変システムの線形性})
\end{align}
\]
ここで、インパルス応答を \(h[n]\) とすると、\(\mathcal{S}\) の時不変性より
\[
\mathcal{S}\{\delta[n-k]\}=h[n-k]
\]
が成り立ちます。
よって
\[
\begin{align}
y[n]&=\sum_{k=-\infty}^\infty x[k]\mathcal{S}\{\delta[n-k]\}\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty x[k]h[n-k]\\
&=x[n]*h[n]\\
&=h[n]*x[n]
\end{align}
\]
定理（線形時不変離散システムの入出力関係）
線形時不変システムにおいて、インパルス応答を \(h[n]\) とすると、入力信号 \(x[n]\) に対する出力信号 \(y[n]\) は
\[
y[n]=h[n]*x[n]
\]
と表せる。
伝達関数
線形離散システムは、一般に以下の差分方程式で表すことができます。
\[
a_0y[n]+a_1y[n-1]+\cdots+a_Ny[n-N]=b_0x[n]+b_1x[n-1]+\cdots+b_Mx[n-M]
\]
この両辺をz変換すると
\[
a_0Y(z)+a_1z^{-1}Y(z)+\cdots+a_Nz^{-N}Y(z)=b_0X(z)+b_1z^{-1}X(z)+\cdots+b_Mz^{-M}X(z)
\]
\[
(a_0+a_1z^{-1}+\cdots+a_Nz^{-N})Y(z)=(b_0+b_1z^{-1}+\cdots+b_Mz^{-M})X(z)
\]
このとき、\(X(z)\) と \(Y(z)\) の比
\[
H(z):=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{b_0+b_1z^{-1}+\cdots+b_Mz^{-M}}{a_0+a_1z^{-1}+\cdots+a_Nz^{-N}}
\]
を離散時間システムの伝達関数といいます。