フーリエ級数
フーリエ級数展開とは
ある周期信号 \(f(t)\) を、直流成分と正弦波、余弦波で分解することを考えます。
定義（角周波数）
単位時間あたりの位相 \(\theta\) の変化を角周波数といい
\[
\omega:=\frac{d\theta}{dt}
\]
と定義する。
任意の周期 \(T\) の信号の角周波数 \(\omega\) は
\[
\omega=\frac{2\pi}{T}
\]
である。
\[
\begin{align}
f(t)\sim a_0
&+a_1\cos(\omega t)+a_2\cos(2\omega t)+\cdots+a_n\cos(n\omega t)+\cdots\\
&+b_1\sin(\omega t)+b_2\sin(2\omega t)+\cdots+b_n\sin(n\omega t)+\cdots
\end{align}
\]
すなわち
\[
f(t)\sim a_0+\sum_{n=1}^\infty\left\{a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)\right\}
\]
定義（フーリエ級数）
周期 \(T\) の周期信号 \(f(t)\) に対して、\(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\) とするとき
\[
f(t)\sim a_0+\sum_{n=1}^\infty\{a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)\}
\]
を \(f(t)\) のフーリエ級数といい、\(a_0,a_n,b_n\) をフーリエ係数という。
フーリエ係数
フーリエ係数は、三角関数の直交性を利用することで求められます。
再掲（三角関数の直交性）
\(m,n\in\mathbb{Z}_{\ge0}\) とし、\(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\) とするとき、次が成り立つ。
- \(\displaystyle\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}\cos(m\omega t)\sin(n\omega t)dt=0\)
- \(\displaystyle\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}\cos(m\omega t)\cos(n\omega t)dt=\begin{cases} 0 & (m\neq n) \\ \frac{T}{2} & (m=n)\end{cases}\)
- \(\displaystyle\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}\sin(m\omega t)\sin(n\omega t)dt=\begin{cases} 0 & (m\neq n) \\ \frac{T}{2} & (m=n)\end{cases}\)
三角関数の積の１周期分の積分は、異なる三角関数の積ならば \(0\) 、同じ三角関数の積であるときのみ \(\dfrac{T}{2}\) となります。
\(a_n\) を求める
両辺に \(\cos(m\omega t)~(m\in\mathbb{N})\) を掛けると
\[
f(t)\cos(m\omega t) \sim \left[ a_0+\sum_{n=1}^\infty\{a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)\}\right] \cos(m\omega t)
\]
これを \(-\dfrac{T}{2}\) から \(\dfrac{T}{2}\) まで積分すると
\[
\begin{align}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(m\omega t)dt
&=\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}\left[ a_0+\sum_{n=1}^\infty\{a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)\}\right] \cos(m\omega t)dt\\
&=\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}a_m\cos(m\omega t)\cos(m\omega t)dt \quad (\because \text{三角関数の直交性より})\\
&=a_m\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}\cos^2(m\omega t)dt\\
&=\frac{T}{2}a_m
\end{align}
\]
よって
\[
a_m=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(m\omega t)dt
\]
\(b_n\) を求める
両辺に \(\sin(m\omega t)~(m\in\mathbb{N})\) を掛けると
\[
f(t)\sin(m\omega t) \sim \left[ a_0+\sum_{n=1}^\infty\{a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)\}\right] \sin(m\omega t)
\]
これを \(-\dfrac{T}{2}\) から \(\dfrac{T}{2}\) まで積分すると
\[
\begin{align}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(m\omega t)dt
&=\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}\left[ a_0+\sum_{n=1}^\infty\{a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)\}\right] \sin(m\omega t)dt\\
&=\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}b_m\sin(m\omega t)\sin(m\omega t)dt \quad (\because \text{三角関数の直交性より})\\
&=b_m\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}\sin^2(m\omega t)dt\\
&=\frac{T}{2}b_m
\end{align}
\]
よって
\[
b_m=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(m\omega t)dt
\]
\(a_0\) を求める
\(f(t)\) を \(-\dfrac{T}{2}\) から \(\dfrac{T}{2}\) まで積分すると
\[
\begin{align}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt
&=\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}\left[ a_0+\sum_{n=1}^\infty\{a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)\}\right]dt\\
&=\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}a_0dt \quad (\because \text{三角関数の直交性より})\\
&=a_0\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}dt\\
&=Ta_0
\end{align}
\]
よって
\[
a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt
\]
したがって、以上をまとめると次のようになります。
定理（フーリエ係数）
\(f(t)\) のフーリエ級数
\[
f(t)\sim a_0+\sum_{n=1}^\infty\{a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)\}
\]
のフーリエ係数 \(a_0,a_n,b_n\) は次のように書ける。
\[
\begin{align}
a_0&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt\\
a_n&=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\omega t)dt\\
b_n&=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(n\omega t)dt
\end{align}
\]
正規直交関数系によるフーリエ級数の導出
ベクトル \(\boldsymbol{a}=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix}\) を正規直交基底 \(\boldsymbol{e}_i\) を用いて表現すると
\[
\boldsymbol{a}=\sum_{i=1}^na_i\boldsymbol{e}_i
\]
ここで
\[
(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_i)
=\left(\sum_{j=1}^na_j\boldsymbol{e}_j,~\boldsymbol{e}_i\right)
=\sum_{j=1}^na_j(\boldsymbol{e}_j,~\boldsymbol{e}_i)
=a_i
\]
\[
\because (\boldsymbol{e}_j,~\boldsymbol{e}_i)=\begin{cases} 1 & (j=i) \\ 0 & (j\neq i) \end{cases}
\]
であることから
\[
\boldsymbol{a}=\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_i)\boldsymbol{e}_i
\]
\(f(t)\) を周期 \(T\) の関数とし、\(\{e_i(x)~|~i\in\mathbb{N}\}\) を正規直交関数系とします。
\[
\begin{align}
f(t)&\sim\sum_{i=1}^\infty(f(\tau),e_i(\tau))e_i(t)\\
&=\sum_{i=1}^\infty\left\{\left(\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(\tau)e_i(\tau)d\tau\right)e_i(t)\right\}
\end{align}
\]
周期 \(T\) の三角関数系
\[
\left\{1,~\cos\left(\frac{2\pi}{T}nt\right),~\sin\left(\frac{2\pi}{T}nt\right)\right\}_{n\in\mathbb{N}}
\]
は直交関数系です。
よってこれを正規化した関数系
\[
\left\{\frac{1}{\sqrt{T}},~\frac{\cos\left(\frac{2\pi}{T}nt\right)}{\sqrt{\frac{T}{2}}},~\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{T}nt\right)}{\sqrt{\frac{T}{2}}}\right\}_{n\in\mathbb{N}}
\]
は正規直交関数系となります。
先ほどの \(\{e_i(t)~|~i\in\mathbb{N}\}\) をこれにしたもの
\[
\begin{align}
f(t)
\sim&\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(\tau)\frac{1}{\sqrt{T}}d\tau\cdot\frac{1}{\sqrt{T}}\\
&+\sum_{n=1}^\infty\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(\tau)\frac{\cos\left(\frac{2\pi}{T}n\tau\right)}{\sqrt{\frac{T}{2}}}d\tau\cdot\frac{\cos\left(\frac{2\pi}{T}nt\right)}{\sqrt{\frac{T}{2}}}\\
&+\sum_{n=1}^\infty\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(\tau)\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{T}n\tau\right)}{\sqrt{\frac{T}{2}}}d\tau\cdot\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{T}nt\right)}{\sqrt{\frac{T}{2}}}
\end{align}
\]
整理して
\[
\begin{align}
f(t)\sim&
\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(\tau)d\tau\\
&+\frac{2}{T}\sum_{n=1}^\infty\left[\left\{\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(\tau)\cos\left(\frac{2\pi}{T}n\tau\right)d\tau\right\}\cos\left(\frac{2\pi}{T}nt\right)\right]\\
&+\frac{2}{T}\sum_{n=1}^\infty\left[\left\{\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(\tau)\sin\left(\frac{2\pi}{T}n\tau\right)d\tau\right\}\sin\left(\frac{2\pi}{T}nt\right)\right]
\end{align}
\]
これを \(f(t)\) のフーリエ級数展開といいます。
特に、\(f(t)\) の周期が \(2\pi\) のときは
\[
\begin{align}
f(t)\sim&
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(\tau)d\tau\\
&+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\left[\left\{\int_{-\pi}^\pi f(\tau)\cos(n\tau)d\tau\right\}\cos(nt)\right]\\
&+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\left[\left\{\int_{-\pi}^\pi f(\tau)\sin(n\tau)d\tau\right\}\sin(nt)\right]
\end{align}
\]
となります。