フーリエ変換の定義
信号 \(f(t)\) は複素フーリエ級数展開により、次式で表されます。
\[
f(t)\sim\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(\tau)e^{-i\frac{2\pi}{T}n\tau}d\tau\right)e^{i\frac{2\pi}{T}nt}
\]
ここで
\[
\Delta\omega = \frac{2\pi}{T}
\]
とすると
\[
\begin{align}
f(t)&\sim\frac{\Delta\omega}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(\tau)e^{-in\Delta\omega\tau}d\tau\right)e^{in\Delta\omega t}\\
&=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(\tau)e^{-in\Delta\omega\tau}d\tau\right)e^{in\Delta\omega t}\Delta\omega
\end{align}
\]
\(T\to\infty\) とすると、\(\Delta\omega\to0\) となるので
\[
\begin{align}
\lim_{\Delta\omega\to0}\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\int_{-\infty}^\infty f(\tau)e^{-in\Delta\omega\tau}d\tau\right)e^{in\Delta\omega t}\Delta\omega
\end{align}
\]
ここで
\[
g(n\Delta\omega)=\left(\int_{-\infty}^\infty f(\tau)e^{-in\Delta\omega\tau}d\tau\right)e^{in\Delta\omega t}
\]
とおくと、次のように書けます。
\[
\begin{align}
\lim_{\Delta\omega\to0}\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty g(n\Delta\omega)\Delta\omega
\end{align}
\]
そして、次の定理を用います。
定理（無限区間の積分）
\[
\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{n=-\infty}^\infty f(n\Delta x)\Delta x=\int_{-\infty}^\infty f(x)dx
\]
よって
\[
\begin{align}
f(t)&\sim\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty g(\omega)d\omega\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty f(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau\right)e^{i\omega t}d\omega
\end{align}
\]
このとき、内側の積分
\[
F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)e^{-i\omega \tau}d\tau
\]
をフーリエ変換といい、外側の積分
\[
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t}d\omega
\]
を逆フーリエ変換といいます。
\(\tau\) のままでもいいのですが、\(t\) で定義することが一般的です。
定義（フーリエ変換・逆フーリエ変換）
信号 \(f(t)\) に対して
\[
F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)](\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}dt
\]
を \(f(t)\) のフーリエ変換という。
これに対して
\[
f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)](t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t}d\omega
\]
を \(F(\omega)\) の逆フーリエ変換という。
フーリエ変換の性質
定理（フーリエ変換の線形性）
信号 \(f(t),g(t)\) 、定数 \(a,b\in\mathbb{R}\) に対して次が成り立つ。
\[
\mathscr{F}[af(t)+bg(t)]=a\mathscr{F}[f(t)]+b\mathscr{F}[g(t)]
\]
定理（時間軸の推移）
信号 \(f(t)\) 、定数 \(\tau\in\mathbb{R}\) に対して次が成り立つ。
\[
\mathscr{F}[f(t-\tau)]=e^{-i\omega\tau}F(\omega)
\]
定理（周波数軸の推移）
信号 \(f(t)\) 、定数 \(\omega_0\in\mathbb{R}\) に対して次が成り立つ。
\[
\mathscr{F}[f(t)e^{i\omega_0t}]=F(\omega-\omega_0)
\]
定理（時間軸スケーリング）
信号 \(f(t)\) 、定数 \(a\in\mathbb{R}\) に対して次が成り立つ。
\[
\mathscr{F}[f(at)]=\frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega}{a}\right)
\]
定理（畳み込みのフーリエ変換）
信号 \(f(t),g(t)\) に対して次が成り立つ。
\[
\mathscr{F}[f(t)*g(t)]=F(\omega)G(\omega)
\]