部分分数展開のよる解法
例題１
次の関数 \(F(s)\) の逆ラプラス変換を求めよ。
\[
F(s)=\frac{2s+3}{(s-1)(s+2)}
\]
まず、分数式を次のように展開することを考えます。
\[
F(s)=\frac{\alpha}{s-1}+\frac{\beta}{s+2}
\]
これを満たすような \(\alpha,\beta\) を求めればよいです。
両辺に \((s-1)\) を掛けると
\[
(s-1)F(s)=\alpha+\frac{\beta(s-1)}{s+2}
\]
これに \(s=1\) を代入すると、右辺の第２項は消えるので
\[
\alpha=(s-1)F(s)|_{s=1}=\left.\frac{2s+3}{s+2}\right|_{s=1}=\frac{5}{3}
\]
\(\beta\) は、両辺に \((s+2)\) を掛けて \(s=-2\) を代入することにより
\[
\beta=(s+2)F(s)|_{s=-2}=\left.\frac{2s+3}{s-1}\right|_{s=-2}=\frac{1}{3}
\]
したがって
\[
F(s)=\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{s-1}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+2}
\]
と部分分数展開ができます。
よって \(F(s)\) の逆ラプラス変換は
\[
\begin{align}
\mathscr{L}^{-1}[F(s)](t)
&=\frac{5}{3}\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-1}\right]+\frac{1}{3}\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+2}\right]\\
&=\frac{5}{3}e^t+\frac{1}{3}e^{-2t}\quad (t\ge0)
\end{align}
\]
と求められます。
あるいは、\(t\ge0\) と書かずに単位ステップ関数 \(u(t)\) を用いて
\[
\mathscr{L}^{-1}[F(s)](t)=\left(\frac{5}{3}e^t+\frac{1}{3}e^{-2t}\right)u(t)
\]
と答えても構いません。
例題２
次の関数 \(F(s)\) の逆ラプラス変換を求めよ。
\[
F(s)=\frac{5s+2}{(s+1)^2(s-3)}
\]
\[
F(s)=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{(s+1)^2}+\frac{C}{s-3}
\]
と部分分数展開することを考えます。
\(B\) と \(C\) は例題１と同じように
\[
B=(s+1)^2F(s)|_{S=-1}=\left.\frac{5s+2}{s-3}\right|_{s=-1}=\frac{3}{4}
\]
\[
C=(s-3)F(s)|_{S=3}=\left.\frac{5s+2}{(s+1)^2}\right|_{s=3}=\frac{17}{16}
\]
と求められます。
しかし、\(A\) についても同様に、両辺に \((s+1)\) を掛けると
\[
(s+1)F(s)=A+\frac{B}{s+1}+\frac{C(s+1)}{s-3}
\]
となり、\(s=-1\) を代入すると第２項の分母が \(0\) になってしまい、上手く \(A\) が求められません。
両辺に \((s+1)^2\) を掛けると
\[
(s+1)^2F(s)=A(s+1)+B+\frac{C(s+1)^2}{s-3}
\]
両辺を \(s\) で微分すると
\[
\frac{d}{ds}(s+1)^2F(s)=A+C\cdot\frac{2(s+1)(s+3)-(s+1)^2}{(s-3)^2}
\]
これに \(s=-1\) を代入すると、右辺の第２項は消えるので
\[
\begin{align}
A&=\left.\frac{d}{ds}(s+1)^2F(s)\right|_{s=-1}\\
&=\left.\frac{d}{ds}\left(\frac{5s+2}{s-3}\right)\right|_{s=-1}\\
&=\left.\frac{5(s-3)-(5s+2)}{(s-3)^2}\right|_{s=-1}\\
&=\frac{5(-1-3)-(-5+2)}{(-1-3)^2}\\
&=-\frac{17}{16}
\end{align}
\]
したがって
\[
F(s)=-\frac{17}{16}\cdot\frac{1}{s+1}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{(s+1)^2}+\frac{17}{16}\cdot\frac{1}{s-3}
\]
と部分分数展開ができます。
よって \(F(s)\) の逆ラプラス変換は
\[
\begin{align}
\mathcal{L}^{-1}[F(s)](t)&=-\frac{17}{16}\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+1}\right]+\frac{3}{4}\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{(s+1)^2}\right]+\frac{17}{16}\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-3}\right]\\
&=-\frac{17}{16}e^{-t}+\frac{3}{4}te^{-t}+\frac{17}{16}e^{3t}
\end{align}
\]