ラプラス変換
ラプラス変換の定義
関数 \(f(t)\) に対して
\[
F(s)=\mathscr{L}[f(t)](s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt
\]
を \(f(t)\) のラプラス変換という。これに対して
\[
f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)](t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty} F(s)e^{st}ds
\]
を \(F(s)\) の逆ラプラス変換という。
ラプラス変換の性質
信号 \(f(t),g(t)\) 、定数 \(a,b\in\mathbb{R}\) に対して次が成り立つ。
\[
\mathscr{L}[af(t)+bg(t)]=a\mathscr{L}[f(t)]+b\mathscr{L}[g(t)]
\]
信号 \(f(t)\) 、定数 \(\tau\in\mathbb{R}\) に対して次が成り立つ。
\[
\mathscr{L}[f(t-\tau)]=e^{-\tau s}\mathscr{L}[f(t)]
\]
関数 \(f(t)\) 、定数 \(a\in\mathbb{R}\) に対して次が成り立つ。
\[
\mathscr{L}\{f(t)e^{-at}\}=F(s+a)
\]
関数 \(f(t)\) 、定数 \(a\in\mathbb{R}\) に対して次が成り立つ。
\[
\mathscr{L}\{f(at)\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right) \quad (a\gt0)
\]
信号 \(f(t)\) に対して次が成り立つ。
\[
\mathscr{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=sF(s)-f(0)
\]
\[
\mathscr{L}\left[\frac{d^nf(t)}{dt^n}\right]=s^nF(s)-\sum_{k=1}^ns^{n-k}f^{(k-1)}(0)
\]