標本化
標本化とは
連続時間信号を離散時間信号へ変換することを標本化（サンプリング）といいます。
連続して流れる時間軸を一定の間隔で区切り、その瞬間の値だけを取り出して並べていく操作です。
サンプル値信号
定義（サンプリング周期・サンプリング周波数）
サンプリングを行う時間間隔をサンプリング周期という。
また、\(1\) 秒間あたりのサンプリングの回数をサンプリング周波数という。
サンプリング周期 \(T_s\) とサンプリング周波数 \(f_s\) には次の関係がある。
\[
f_s=\frac{1}{T_s}
\]
単位インパルス信号 \(\delta(t)\) を間隔 \(T_s\) 並べた信号
\[
s(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t-nT_s)
\]
をインパルス列といいます。
連続信号 \(x(t)\) をサンプリング周期 \(T_s\) でサンプリングした連続信号 \(x_s(t)\) は
\[
x_s(t)=x(t)s(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(t)\delta(t-nT_s)
\]
と書けて、これはサンプル列信号と呼ばれます。
この式は単位インパルス信号 \(\delta(t)\) の性質から
\[
x_s(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(nT_s)\delta(t-nT_s)
\]
と書き換えられます。
ここで \(x(nT_s)\) を
\[
x[n]:=x(nT_s)
\]
と書き、これをサンプル値信号と呼びます。
時間間隔 \(T_s\) で並ぶインパルス列
\[
s(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t-nT_s)
\]
は周期 \(T_s\) の周期関数と考えることができます。
したがって、\(s(t)\) はフーリエ級数展開が可能です。
\(s(t)\) の複素フーリエ係数 \(c_k\) は
\[
\begin{align}
c_k&=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}s(t)e^{-j\frac{2\pi}{T_s}kt}dt\\
&=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t-nT_s)e^{-j\frac{2\pi}{T_s}kt}dt\\
&=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}\delta(t)e^{-j\frac{2\pi}{T_s}kt}dt\\
&=\frac{1}{T_s}e^{-j\frac{2\pi}{T_s}k0}\\
&=\frac{1}{T_s}
\end{align}
\]
なので、\(s(t)\) の複素フーリエ級数展開は
\[
\begin{align}
s(t)&=\sum_{k=-\infty}^\infty c_ke^{j\frac{2\pi}{T_s}kt}\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{1}{T_s}e^{j\frac{2\pi}{T_s}kt}\\
&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{j\frac{2\pi}{T_s}kt}
\end{align}
\]
となります。
これをフーリエ変換すると
\[
\begin{align}
S(f)&=\mathscr{F}[s(t)]\\
&=\int_{-\infty}^\infty s(t)e^{-j2\pi ft}dt\\
&=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{j\frac{2\pi}{T_s}kt}e^{-j2\pi ft}dt\\
&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-j2\pi \left(f-\frac{k}{T_s}\right)t}dt\\
&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty \delta\left(f-\frac{k}{T_s}\right)\\
\end{align}
\]
したがって
\[
x_s(t)=x(t)s(t)
\]
のフーリエ変換は
\[
\begin{align}
X_s(f)&=X(f)*S(f)\\
&=\int_{-\infty}^\infty X(f-\xi)S(\xi)d\xi\\
&=\int_{-\infty}^\infty X(f-\xi)\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty \delta\left(\xi-\frac{k}{T_s}\right)d\xi\\
&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty X(f-\xi) \delta\left(\xi-\frac{k}{T_s}\right)d\xi\\
&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty X\left(f-\frac{k}{T_s}\right)\\
&=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty X(f-kf_s) \quad \left(\because f_s=\frac{1}{T_s}\right)
\end{align}
\]
となります。
すなわち、サンプル列信号 \(x_s(t)\) のフーリエ変換 \(X_s(f)\) は、元の連続時間信号 \(x(t)\) のフーリエ変換 \(X(f)\) を平行移動したものを足し合わせたものだとわかります。
また、周期がサンプリング周波数 \(f_s\) の周期関数であることがわかります。
連続信号の復元
サンプル列信号から、元の連続信号を復元することを考えます。
\[
X_s(f)=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty X(f-kf_s)
\]
\(X(f)\) が間隔 \(f_s\) で並びます。
最大周波数を \(f_m\) とすると
\[
f_s \gt 2f_m
\]
となれば、各 \(X(f-kf_s)\) は重なりません。
定義（帯域制限）
信号 \(x(t)\) のフーリエ変換 \(X(f)\) をある有限の周波数範囲で完全に \(0\) にする、すなわち
\[
X(f)=0 \quad (|f|\gt f_m)
\]
とする操作を帯域制限という。
このとき、\(f_m\) は最大周波数である。
帯域制限されているとき、最大周波数を \(f_m\) とすると
\[
f_s \gt 2f_m
\]
となるように \(f_s\) をとれば、各 \(X(f-kf_s)\) は重なりません。
定理（サンプリング定理）
信号 \(x(t)\) の最大周波数が \(f_{\mathrm{max}}\) であるとき、\(x(t)\) を \(2f_{\mathrm{max}}\) より高いサンプリング周波数で標本化すると、元の信号を復元できる。