基本的な信号

単位インパルス信号

定義（単位インパルス関数）

\(t\in\mathbb{R}\) に対して

\[ \delta(t)= \begin{cases} \infty & (t=0)\\ 0 & (t\neq0) \end{cases} ~~,\quad \int_{-\infty}^\infty \delta(t)dt=1 \]

で定義される \(\delta(t)\) を単位インパルス関数という。

定理（単位インパルス関数の性質）

\(a\in\mathbb{R}\) とするとき、単位インパルス関数 \(\delta(t)\) に対して次が成り立つ。

  1. \(\delta(-t)=\delta(t)\)
  2. \(\delta(at)=\dfrac{1}{|a|}\delta(t)\quad(a\neq0)\)
  3. \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty x(t)\delta(t-a)dt=x(a)\)

離散時間の場合は次のように定義されます。

定義（離散時間単位インパルス信号）

\(n\in\mathbb{Z}\) に対して

\[ \delta[n]= \begin{cases} 1 & (n=0)\\ 0 & (n\neq0) \end{cases} \]

で定義される信号 \(\delta[n]\) を離散時間単位インパルス信号という。

単位ステップ信号

定義（単位ステップ関数）

\(t\in\mathbb{R}\) に対して

\[ u(t)= \begin{cases} 1 & (t\ge0)\\ 0 & (t\lt0) \end{cases} \]

で定義される関数 \(u(t)\) を単位ステップ関数という。

定義（離散時間単位ステップ信号）

\(n\in\mathbb{Z}\) に対して

\[ u[n]= \begin{cases} 1 & (n\ge0)\\ 0 & (n\lt0) \end{cases} \]

で定義される信号 \(u[n]\) を離散時間単位ステップ信号という。

定理

\[ \Delta u[n]=u[n+1]-u[n]=\delta[n] \]

演習問題

問題
解答