システム

システムの定義

システムとは、ある信号を別の信号に写す関数をいい、次のように定義されます。

定義（システム）

入力信号の集合を \(\mathcal{X}\) 、出力信号の集合を \(\mathcal{Y}\) とする。このとき、写像

\[ \mathcal{S}:\mathcal{X}\to\mathcal{Y} \]

をシステムという。

\(x(t)\in\mathcal{X},~y(t)\in\mathcal{Y}\) とするとき

\[ y(t)=\mathcal{S}\{x(t)\} \]

と表す。

定義（線形システム）

システム \(\mathcal{S}\) に対して

\[ \mathcal{S}\{x_1(t)\}=y_1(t),\quad\mathcal{S}\{x_2(t)\}=y_2(t) \]

であるとする。このとき、\(a,b\in\mathbb{R}\) として

\[ \mathcal{S}\{ax_1(t)+bx_2(t)\}=ay_1(t)+by_2(t) \]

を満たすならば、\(\mathcal{S}\) を線形システムという。

時不変システムとは、入力信号を時間シフトさせたとき、出力信号も同じだけ時間シフトするという性質を満たすシステムです。

定義（時不変システム）

システム \(\mathcal{S}\) に対して

\[ \mathcal{S}\{x(t)\}=y(t) \]

であるとする。このとき、\(\tau\in\mathbb{R}\) として

\[ \mathcal{S}\{x(t-\tau)\}=y(t-\tau) \]

満たすならば、\(\mathcal{S}\) を時不変システムという。

定義（線形時不変システム）

システム \(\mathcal{S}\) が、線形システムかつ時不変システムであるシステムを線形時不変システム（LTIシステム）という。

線形時不変システムは、次の畳み込みと呼ばれる操作

\[ y(t)=\int_{-\infty}^\infty h(\tau)x(t-\tau)d\tau \]

によって完全に表現することができます。ここで、\(h\) をインパルス応答といいます。

因果システムとは、現在の出力信号は現在までの入力のみで決まる（未来の入力には依存しない）という性質を満たすシステムです。

定義（因果システム）

システム \(\mathcal{S}\) に対して

\[ \mathcal{S}\{x(t)\}=y(t) \]

であるとする。このとき、入力 \(x(t)\) が

\[ x(t)=0\quad (t\lt0) \]

満たすならば、\(\mathcal{S}\) を因果システムという。

問題

解答