ｚ変換
ラプラス変換の離散化
連続因果信号 \(x(t)\) をサンプリングする。
サンプリング周期を \(T_s\) とすると、サンプリングした信号 \(x_s(t)\) は
\[
x_s(t)=\sum_{n=0}^\infty x(t)\delta(t-nT_s)
\]
と表される。
これをラプラス変換すると
\[
\begin{align}
X_s(s)
&=\mathscr{L}[x_s(t)](s)\\
&=\int_0^\infty \sum_{n=0}^\infty x(t)\delta(t-nT_s)e^{-st}dt\\
&=\sum_{n=0}^\infty\int_0^\infty x(t)\delta(t-nT_s)e^{-st}dt\\
&=\sum_{n=0}^\infty x(nT_s)e^{-snT_s}
\end{align}
\]
ここで、\(x[n]=x(nT_s),~z=e^{sT_s}\) とおくと、\(X_s(s)\) は
\[
\sum_{n=0}^\infty x[n]z^{-n}
\]
と表せます。
これをｚ変換といいます。
定義（ｚ変換）
離散因果信号 \(x[n]\) に対して
\[
X(z) = \mathcal{Z}[x[n]](z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}
\]
を \(x[n]\) のｚ変換という。
これに対して
\[
x[n] = \mathcal{Z}^{-1}[X(z)][n] = \frac{1}{2\pi i} \int_{C} X(z) z^{n-1}dz
\]
を逆ｚ変換という。
様々な信号のｚ変換
定理（単位インパルス信号のｚ変換）
離散時間単位インパルス信号 \(\delta[n]\) に対して
\[
\mathcal{Z}[\delta[n]](z) = 1
\]
証明
\[
\delta[n]=
\begin{cases}
1 & (n=0)\\
0 & (n\neq0)
\end{cases}
\]
であるから
\[
\mathcal{Z}[\delta[n]](z) = \sum_{n=0}^{\infty} \delta[n] z^{-n}=1\cdot z^{-0}=1
\]
定理（単位ステップ信号のｚ変換）
離散時間単位ステップ信号 \(u[n]\) に対して
\[
\mathcal{Z}[u[n]](z) = \frac{z}{z-1}
\]
証明
\[
u[n]=
\begin{cases}
1 & (n\ge0)\\
0 & (n\lt0)
\end{cases}
\]
であるから
\[
\begin{align}
\mathcal{Z}[u[n]](z) &= \sum_{n=0}^{\infty} u[n] z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{-n}\\
&= \frac{1}{1-z^{-1}}= \frac{z}{z-1}
\end{align}
\]
定理（指数信号のｚ変換）
離散指数信号 \(a^n\) に対して
\[
\mathcal{Z}[a^n](z) = \frac{z}{z-a}
\]
証明
\[
\begin{align}
\mathcal{Z}[a^n](z) &= \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} (az^{-1})^{n}\\
&= \frac{1}{1-az^{-1}}= \frac{z}{z-a}
\end{align}
\]
定理（正弦波信号のｚ変換）
\[
\mathcal{Z}[\cos(n\omega)](z) = \frac{z^2-z\cos\omega}{z^2-2z\cos\omega+1}
\]
\[
\mathcal{Z}[\sin(n\omega)](z) = \frac{z\sin\omega}{z^2-2z\cos\omega+1}
\]
証明
\(e^{in\omega}\) のｚ変換を考えると
\[
\begin{align}
\mathcal{Z}[e^{in\omega}](z) &= \frac{z}{z-e^{i\omega}}\\
&=\frac{z}{z-(\cos\omega+i\sin\omega)}\\
&=\frac{z}{(z-\cos\omega)-i\sin\omega}\\
&=\frac{z(z-\cos\omega+i\sin\omega)}{(z-\cos\omega)^2-(i\sin\omega)^2}\\
&=\frac{z^2-z\cos\omega+iz\sin\omega}{z^2-2\cos\omega+\cos^2\omega+\sin^2\omega}\\
&=\frac{z^2-z\cos\omega+iz\sin\omega}{z^2-2\cos\omega+1}\\
\end{align}
\]
ここで、オイラーの公式より
\[
e^{in\omega}=\cos(n\omega)+i\sin(n\omega)
\]
であるから
\[
\operatorname{Re}(e^{in\omega})=\cos(n\omega),\quad\operatorname{Im}(e^{in\omega})=\sin(n\omega)
\]
なので
\[
\mathcal{Z}[\cos(n\omega)](z) = \frac{z^2-z\cos\omega}{z^2-2z\cos\omega+1}
\]
\[
\mathcal{Z}[\sin(n\omega)](z) = \frac{z\sin\omega}{z^2-2z\cos\omega+1}
\]