中心極限定理
中心極限定理
正規分布に従う無作為標本 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2)\) に対して、標本平均を \(\overline{X_n}\) とすると
\[
Z_n=\frac{\overline{X_n}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}\sim N(0,1)
\]
が成り立ちます。 正規分布に従うデータは扱いやすいです。
現実のデータは、必ずしも正規分布に従うとは限りません。 しかし、正規分布に従わないデータの場合でも、その標本平均が従う分布は、データ数を増やしていくと正規分布に近づくことが知られています。 これを主張するのが中心極限定理です。
確率変数 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) が独立に平均 \(\mu\) 、分散 \(\sigma^2\) の同一分布に従うとき、標本平均 \(\overline{X_n}\) を標準化した確率変数
\[
Z_n=\frac{\overline{X_n}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}
\]
は、\(n\to\infty\) のとき標準正規分布 \(N(0,1)\) に分布収束する。