母平均の差の区間推定と検定
母分散が既知の場合
2つの母集団を考えます。
それぞれの母平均に差があるかを検定します。
２つの母集団を \(N(\mu_X,\sigma_X^2),~N(\mu_Y,\sigma_Y^2)\) とします。
それぞれ無作為標本を抽出します。
\[
X_1,X_2,\cdots,X_{n_X} \sim N(\mu_X,\sigma_X^2)
\]
\[
Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_Y} \sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2)
\]
それぞれの標本平均は次のようになります。
\[
\overline{X}=\frac{1}{n_X}\sum_{i=1}^{n_X}X_i, \quad \overline{Y}=\frac{1}{n_Y}\sum_{i=1}^{n_Y}Y_i
\]
正規分布の再生成より
\[
\overline{X}-\overline{Y}\sim N\left(\mu_X-\mu_Y,~\frac{\sigma_X^2}{n_X}+\frac{\sigma_Y^2}{n_Y}\right)
\]
これを標準化すると
\[
Z=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X}+\frac{\sigma_Y^2}{n_Y}}}\sim N(0,1)
\]
これが検定統計量となります。
母分散が未知で等しい場合
母分散 \(\sigma_X^2,\sigma_Y^2\) はともに未知で、\(\sigma_X^2=\sigma_Y^2\) と仮定できる場合を考えます。
\[
\sigma^2=\sigma_X^2=\sigma_Y^2
\]
とすると、統計量 \(Z\) は次のようになります。
\[
Z=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X}+\frac{\sigma_Y^2}{n_Y}}}=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\sigma^2}\sqrt{\frac{1}{n_X}+\frac{1}{n_Y}}}
\]
ここで、\(\sigma\) は未知なので \(\sigma\) の不偏推定量 \(\hat{\sigma}\) で代用したもの
\[
T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\hat{\sigma}^2}\sqrt{\frac{1}{n_X}+\frac{1}{n_Y}}}
\]
を考えます。
次の事実を用います。
\[
\frac{(n_X-1)U_X^2}{\sigma_X^2}\sim\chi^2(n_X-1), \quad \frac{(n_Y-1)U_Y^2}{\sigma_Y^2}\sim\chi^2(n_Y-1)
\]
これらの和をとると
\[
\frac{(n_X-1)U_X^2}{\sigma_X^2}+\frac{(n_Y-1)U_Y^2}{\sigma_Y^2}=\frac{(n_X-1)U_X^2+(n_Y-1)U_Y^2}{\sigma^2}
\]
カイ二乗分布の性質より
\[
\frac{(n_X-1)U_X^2+(n_Y-1)U_Y^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n_X+n_Y-2)
\]
が成り立ちます。
カイ二乗分布に従う確率変数の期待値は自由度であるから
\[
E\left[\frac{(n_A-1)U_A^2+(n_B-1)U_B^2}{\sigma^2}\right]=n_A+n_B-2
\]
よって
\[
E\left[\frac{(n_A-1)U_A^2+(n_B-1)U_B^2}{n_A+n_B-2}\right]=\sigma^2
\]
です。
不偏推定量の定義 \(E[\hat{\sigma}^2]=\sigma^2\) から
\[
\hat{\sigma}^2=\frac{(n_A-1)U_A^2+(n_B-1)U_B^2}{n_A+n_B-2}
\]
とわかります。
したがって
\[
T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{(n_X-1)U_X^2+(n_Y-1)U_Y^2}{n_X+n_Y-2}}\sqrt{\frac{1}{n_X}+\frac{1}{n_Y}}} \sim t(n_A+n_B-2)
\]