仮説検定
仮説検定とは
標本調査により得られたデータから仮説の真偽を判定する方法を仮説検定といいます。 以下にその手順を示します。
１枚のコインがあります。 このコインを投げたとき、表が出る確率が \(\dfrac{1}{2}\) である正常なコインかどうか調べたいとします。
仮説を定める
検定の対象となる母数 \(\theta\) が特定の値 \(\theta_0\) であるという仮説を
と表し、この仮説 \(H_0\) を帰無仮説といいます。 この \(H_0\) が実験者が否定したい仮説です。
帰無仮説 \(H_0\) が正しくないことを主張するための仮説 \(H_1\) を対立仮説といいます。 対立仮説としては、以下の３種類が考えられます。
\(H_1:\theta\neq\theta_0\) （両側検定）
\(H_1:\theta\gt\theta_0\) （右側検定）
\(H_1:\theta\lt\theta_0\) （左側検定）
仮説検定は、まず帰無仮説 \(H_0\) が正しいと仮定します。 そのまま議論を進めたとき、その状況は確率的にあり得ないとなれば、\(H_0\) が間違っていたと判断し、\(H_1\) が正しいとする、という流れです。
有意水準を定める
帰無仮説 \(H_0\) が本当は正しいのに、\(H_0\) が誤りだと判断してしまう確率を有意水準（危険率）といい、\(\alpha\) で表します。 この \(\alpha\) の値は事前に定めます。一般的に \(\alpha=0.05~~(5\%)\) 、\(\alpha=0.01~~(1\%)\) とすることが多いです。
検定統計量を選び、分布から棄却域を求める
母集団から \(n\) 個の無作為標本 \(X_1,X_2,\cdots,X_{n}\) を抽出します。 この無作為標本に対して、確率分布がわかる適当な統計量
を選びます。検定に用いる統計量を検定統計量といいます。
帰無仮説 \(H_0\) が正しいと仮定した上で、検定統計量 \(T\) が従う分布を決定します。 \(T\) の確率密度関数 \(f_T(t)\) のグラフを用いて、対立仮説 \(H_1\) の定め方に応じて、有意水準 \(\alpha\) をもとに、下図のように 棄却域 \(R\) を求めます。
帰無仮説が棄却されるか判断する
無作為標本 \(X_1,X_2,\cdots,X_{n}\) の実現値 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) を用いて、検定統計量 \(T\) の実現値
を求めます。 この値が棄却域 \(R\) に含まれるか調べます。 棄却域 \(R\) に入るということは、それだけ珍しい値である（怪しい）ということです。 したがって
であれば \(H_0\) は棄却されます。 反対に
であれば \(H_0\) は棄却されません。
帰無仮説 \(H_0\) が棄却されると、対立仮説 \(H_1\) を採択します。 よってこの場合、\(H_1\) が正しいと結論づけられます。
仮説検定の流れのまとめ
- 帰無仮説と対立仮説を定めて、帰無仮説が正しいと仮定する
- 有意水準を定める
- 検定統計量を選び、その分布から棄却域を求める
- 検定統計量の実現値が棄却域に含まれるかを判断する
第１種の過誤と第２種の過誤
仮説検定は、あくまで統計学的判断なので、間違った結論を出してしまうことがあります。 この間違った結論には、以下の２種類があります。
帰無仮説 \(H_0\) が本当は正しいのにそれを棄却する誤り
有意水準 \(\alpha\) がこの過誤を犯す確率を表しています。 この \(\alpha\) の値を小さく設定すれば、第１種の過誤が起こる確率を小さくできます。
帰無仮説 \(H_0\) が本当は正しくないのにそれを棄却しない誤り
第２種の過誤を犯す確率は \(\beta\) で表す。 この \(\beta\) は未知の母数に依存するため、分析者がこの値を事前に知ることはできません。 そのため、分析者は主張したい仮説を対立仮説 \(H_1\) に設定し、帰無仮説 \(H_0\) が棄却されることを通じて、\(H_1\) を示すのが一般的です。 また、第２種の過誤を犯さない確率は \(1-\beta\) と表され、これを検出力といいます。
仮説検定を行う際は、\(\alpha,\beta\) が共に小さい方がもちろんいいのですが、片方を小さくするともう片方は大きくなる関係があります。
p値法
次のように定義される量をp値といいます。
帰無仮説 \(H_0\) のもとで、観測された検定統計量以上に極端な値が得られる確率をp値といいます。
p値が求まるのなら、より簡単に帰無仮説 \(H_0\) を棄却するかどうかを判断することができます。