指数化

時系列データの指数

定義（時系列データの指数）

時系列データ \(\{x_t\}_{t=0}^T\) に対して、基準時点を \(t=s\) とするとき

\[ q_t=\frac{x_t}{x_s} \quad (t=0,\cdots,T) \]

を時点 \(s\) を基準とする \(\{x_t\}_{t=0}^T\) の指数という。

定義（ラスパイレス指数）

財 \(i\) の時点 \(t\) での価格を \(p_{i,t}\) 、数量を \(q_{i,t}\) とするとき

\[ P_L=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n p_{i,t}q_{i,0}}{\displaystyle\sum_{i=1}^n p_{i,0}q_{i,0}}\times100 \]

をラスパイレス指数という。

数式ではわかりにくいですが、言葉で表すと次のようになります。

\[ \frac{\text{基準年と同じ量を購入した場合の比較年の総額}}{\text{基準年の総額}}\times100 \]

数量を基準年に固定して、価格の変化を見ているということです。

例題

次の表は、ある国で基準年と比較年における「りんご」と「バナナ」の価格と数量である。このとき、比較年のラスパイレス物価指数を求めよ。

品目	基準年価格	基準年数量	比較年価格	比較年数量
りんご	100	10	120	8
バナナ	200	5	250	6

\[ \frac{120\cdot10+250\cdot5}{100\cdot10+200\cdot5}\times100=\frac{2450}{2000}\times100=122.5 \]

定義（パーシェ指数）

財 \(i\) の時点 \(t\) での価格を \(p_{i,t}\) 、数量を \(q_{i,t}\) とするとき

\[ P_P=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n p_{i,t}q_{i,t}}{\displaystyle\sum_{i=1}^n p_{i,0}q_{i,t}}\times100 \]

をパーシェ指数という。

こちらも言葉で表すと次のようになります。

\[ \frac{\text{比較年の総額}}{\text{比較年と同じ量を購入した場合の基準年の総額}}\times100 \]

数量を比較年に固定して、価格の変化を見ているということです。

定義（フィッシャー指数）

ラスパイレス指数を \(P_L\) 、パーシェ指数を \(P_P\) とするとき

\[ P_F=\sqrt{P_LP_P} \]

をフィッシャー指数という。

問題

解答