区間推定

区間推定の定義

点推定では、母数を1点（1つの値）で推定しましたが、区間推定では、母数が含まれていると考えられる区間を推定します。未知母数 \(\theta\) に対して

\[ P(Q_1 \le \theta \le Q_2) = 1 - \alpha \]

を満たすような確率変数 \(Q_1, Q_2\) を考えます。このときの \(1 - \alpha\) を信頼水準（信頼係数）と呼びます。 \(Q_1, Q_2\) の実現値をそれぞれ \(q_1, q_2\) とすると、区間 \([q_1, q_2]\) を母数 \(\theta\) に対する\(100(1-\alpha)\%\) 信頼区間といいます。また、\(q_1\) を信頼下限、\(q_2\) を信頼上限と呼びます。

区間推定の手順

母数 \(\theta\) の区間推定を行うには、まず母数 \(\theta\) を含み、分布が \(\theta\) に依存しないような統計量

\[ T(X_1,X_2,\cdots,X_n;\theta) \]

を見つけます。信頼水準が \(1 - \alpha\) のとき、 \(T\) が従う分布の上側 \(100\alpha\%\) 点を \(t_{U(\alpha)}\) 、下側 \(100\alpha\%\) 点を \(t_{L(\alpha)}\) とすると

\[ P\left(t_{L\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\le T\le t_{U\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right)=1-\alpha \]

となります。この不等式を \(\theta\) について解くと

\[ P\left(Q_1 \le \theta \le Q_2\right) = 1 - \alpha \]

という形が得られます。 \(Q_1,Q_2\) の実現値がそれぞれ \(q_1,q_2\) であるとき、区間 \([q_1, q_2]\) が母数 \(\theta\) に対する \(100(1-\alpha)\%\) 信頼区間となります。

演習問題

問題

解答