大数の法則
大数の法則
「標本の個数を増やせば、その標本平均は母平均に近づいていく」ということを保証する定理が大数の法則です。
確率変数 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) が独立に平均 \(\mu\) の同一分布に従うとき、標本平均 \(\overline{X_n}\) に対して
\[
\overline{X_n}\xrightarrow{P}\mu\quad(n\to\infty)
\]
が成り立つ。
\[
\overline{X_n}\xrightarrow{P}\mu\quad(n\to\infty)
\]
は \(\overline{X_n}\) は \(\mu\) に確率収束することを意味し、具体的には
\[
\forall \varepsilon\gt0,\quad\lim_{n\to\infty}P(|\overline{X_n}-\mu|\lt\varepsilon)=1
\]
が成り立つことをいいます。