統計量

統計量の定義

標本 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) から作られた関数

\[ T(X_1,X_2,\cdots,X_n) \]

を統計量といいます。標本 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) の実現値がそれぞれ \(x_1,x_2,\cdots,x_n\)であるとき、統計量 \(T\) が定める値

\[ T(x_1,x_2,\cdots,x_n) \]

を統計量 \(T\) の実現値といいます。

代表的な統計量として、標本平均、標本分散、不偏分散、標本比率などがあります。

定義（標本平均）

無作為標本 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) に対して

\[ \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i \]

を標本平均という。

定理（標本平均の期待値と分散）

平均 \(\mu\) 、分散 \(\sigma^2\) の母集団からの無作為標本の標本平均 \(\overline{X}\) に対して、次が成り立つ。

\[ E[\overline{X}]=\mu,~~~~~V[\overline{X}]=\frac{\sigma^2}{n} \]

定義（標本分散）

無作為標本 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) とその標本平均 \(\overline{X}\) に対して

\[ S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2 \]

を標本分散という。

定義（不偏分散）

無作為標本 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) とその標本平均 \(\overline{X}\) に対して

\[ U^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2 \]

を不偏分散という。

問題

解答