t分布の確率密度関数
t分布の確率密度関数 \(f_T\) を求めます。
確率変数 \(Z\sim N(0,1),~W\sim\chi^2(n)\) は互いに独立なので、\(Z,W\) の同時確率密度関数は次のようになります。
\[
\begin{align}
f_{Z,W}(z,w)&=f_Z(z)f_W(w)\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\cdot\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}}
\end{align}
\]
次に以下の変数変換を考えます。
\[
t=\frac{z}{\sqrt{\frac{w}{n}}},~~~u=w
\]
このとき
\[
z=t\sqrt{\frac{u}{n}},~~~w=u
\]
であり、ヤコビアンは
\[
J=\begin{vmatrix} \frac{\partial z}{\partial t} & \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial w}{\partial t} & \frac{\partial w}{\partial u} \end{vmatrix}
=\begin{vmatrix} \sqrt{\frac{u}{n}} & \frac{t}{2\sqrt{nu}} \\ 0 & 1 \end{vmatrix}
=\sqrt{\frac{u}{n}}
\]
したがって、新しい同時確率密度関数 \(f_{T,U}(t,u)\) は
\[
\begin{align}
f_{T,U}(t,u)&=f_{Z,X}\left(t\sqrt{\frac{u}{n}},u\right)|J|\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2u}{2n}}\cdot\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}u^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{u}{2}}\cdot\sqrt{\frac{u}{n}}\\
&=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\sqrt{2n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}u^{\frac{n+1}{2}-1}e^{-u\left(\frac{1}{2}+\frac{t^2}{2n}\right)}
\end{align}
\]
これを周辺化して、\(T\) の周辺確率密度関数を求めます。
\[
\begin{align}
f_T(t)&=\int_{-\infty}^\infty f_{T,U}(t,u)du\\
&=\int_0^\infty \frac{1}{2^\frac{n}{2}\sqrt{2n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}u^{\frac{n+1}{2}-1}e^{-u\left(\frac{1}{2}+\frac{t^2}{2n}\right)}du\\
&=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\sqrt{2n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\int_0^\infty u^{\frac{n+1}{2}-1}e^{-u\left(\frac{1}{2}+\frac{t^2}{2n}\right)}du\\
\end{align}
\]
ここで
\[
v=u\left(\frac{1}{2}+\frac{t^2}{2n}\right)
\]
とおくと
\[
\begin{align}
f_T(t)
&=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\sqrt{2n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\int_0^\infty v^{\frac{n+1}{2}-1}e^{-v}\left(\frac{1}{2}+\frac{t^2}{2n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}dv\\
&=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\sqrt{2n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(\frac{1}{2}+\frac{t^2}{2n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}\int_0^\infty v^{\frac{n+1}{2}-1}e^{-v}dv\\
&=\frac{1}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)\\
&=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}
\end{align}
\]
定理（t分布の確率密度関数）
確率変数 \(T\sim t(n)\) の確率密度関数 \(f_T\) は次式で表される。
\[
f_T(x)=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}
\]