指数×三角関数の級数

\[ \sum_{n=0}^\infty r^n\cos n\theta,~~~~~\sum_{n=0}^\infty r^n\sin n\theta \]

三角関数はオイラーの公式により、指数関数に変換できることを利用する。 \[ \sum_{n=0}^\infty r^ne^{in\theta}=\sum_{n=0}^\infty \left(re^{i\theta}\right)^n \] ここで \[ \left|re^{i\theta}\right|=|r| \] より、\(|r|\lt1\) のとき収束し \[ \sum_{n=0}^\infty r^ne^{in\theta}=\sum_{n=0}^\infty \left(re^{i\theta}\right)^n=\frac{1}{1-re^{i\theta}}=\frac{1-re^{-i\theta}}{1-2r\cos\theta+r^2} \] したがって \[ \sum_{n=0}^\infty r^n\cos n\theta=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^2} \] \[ \sum_{n=0}^\infty r^n\sin n\theta=\frac{1+r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^2} \]