総和の不等式評価

具体的に求められない総和を \[ A(n)\lt\sum_{k=1}^na_k\lt B(n) \] のように不等式で評価したい。

\[ \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} \] を考える。これは簡単な式で表すことができないため、不等式で評価したい。 上図より、面積を比較することで \[ \int_0^n\frac{1}{x+1}dx\lt\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\lt1+\int_1^n\frac{1}{x}dx \] が成り立つ。 \[ \int_0^n\frac{1}{x+1}dx=\left[\log|x+1|\right]_0^n=\log(n+1) \] \[ \int_1^n\frac{1}{x}dx=\left[\log|x|\right]_1^n=\log n \] より \[ \log(n+1)\lt\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\lt1+\log n \]

\[ \int_0^n\frac{1}{x+1}dx\lt\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\lt1+\frac{1}{2}+\int_2^n\frac{1}{x}dx \] 短冊の面積を計算する個数を増やし、積分する区間を短くすることで、より厳しく評価できる。