整式×指数の和

整式 \(P(k)\) と指数 \(r^k\) の積の和 \[ \sum_{k=1}^nP(k)r^k \] を考える。これは直接、総和の公式を用いることができないため、適切な関数 \(f(k)\) を見つけて \[ \sum_{k=1}^nP(k)r^k=\sum_{k=1}^n\{f(k+1)-f(k)\} \] と変形することを試みる。

\[ (2k^2+3k+1)2^k=f(k+1)-f(k) \] となるような \(f(k)\) を見つける。整式部分は２次式であるから \[ f(k)=(ak^2+bk+c)2^k \] とおいてみる。このとき \[ \begin{align} f(k+1)&=\{a(k+1)^2+b(k+1)+c\}2^{k+1}\\ &=\{ak^2+(2a+b)k+a+b+c\}2^{k+1}\\ &=\{2ak^2+(4a+2b)k+2a+2b+2c\}2^{k} \end{align} \] であるから \[ f(k+1)-f(k)=\{ak^2+(4a+b)k+2a+2b+c\}2^{k} \] これが \((2k^2+3k+1)2^k\) と等しくなればよいから、係数を比較して \[ a=2,~~~~~4a+b=3,~~~~~2a+2b+c=1 \] これを解くと \[ a=2,~~~~~b=-5,~~~~~c=7 \] となる。したがって \[ f(k)=(2k^2-5k+7)2^k \] ＜解答＞ \[ f(k)=(2k^2-5k+7)2^k \] とおくと \[ f(k+1)-f(k)=(2k^2+3k+1)2^k \] であるから \[ \begin{align} &\sum_{k=1}^n(2k^2+3k+1)2^k\\ &=\sum_{k=1}^n\{f(k+1)-f(k)\}\\ &=f(n+1)-f(1)\\ &=\{2(n+1)^2-5(n+1)+7\}\cdot2^{n+1}-(2\cdot2^2-5\cdot2+7)\cdot2\\ &=(2n^2-n+4)2^{n+1}-10 \end{align} \]